Nombres "autogènes" (février-mars 2009) 

Il y a plusieurs types de nombres entiers que j'appelle autogènes :

1) les entiers N pour lesquels, en insérant entre chaque paire de chiffres *, ou ^ ou "rien" on peut retrouver N de manière non-triviale : (* est la multiplication, ^ est l'exponentiation, et "rien" est la concaténation) Deux précisions : on s'interdit les nombres commençant par 0, et on s'interdit également d'utiliser deux exponentiations de suite.

On obtient ainsi, par exemple 1729665=17^2*9*665

Voici la liste exhaustive de ces nombres jusqu'à 20000000.
Cette liste représente plusieurs dizaines d'heures de calcul de la part de mon ordinateur.

Remarque, lorsqu'on respecte une alternance stricte de multiplication et d'exponentiation, ces nombres s'appellent des printer's errors, et avaient déjà été trouvés. Seuls un peu plus de la moitié des nombres ci-dessus sont réellement inédits.

2) Les entiers N pour lesquels, en insérant entre leurs chiffres +, ou -, ou *, ou /, ou ^ , ou "rien" on retrouve N, par ex. 16875 = 1*68+7^5.

On s'impose les mêmes restrictions que précédemment, ainsi qu'un signe – initial.

Voici la liste de ces entiers jusqu'à 238000 (ici aussi beaucoup d'heures de calcul)

Et enfin, le plus beau : un entier autogène pandigital (qui comporte une et une seule fois chaque chiffre) :

C'est le plus petit, et je ne sais pas s'il en existe d'autres, l'ordinateur est en train de chercher…